§ 26: 26.17

26.17 Доведіть, що коли α + β + γ = π2, то має місце тотожність

cos²α + cos²β + cos²γ = 2 + 2 sinα sinβ sinγ.

α + β + γ = π2 ⇒ α + β = π2 – γ

cos²α + cos²β + cos²γ = 2 + 2sinα • sinβ • sinγ

Л. ч. = cos²α + cos²β + cos²γ – 1 – 1 + 2 = cos²γ – sin²α – sin²β + 1 = sin²(π2 – γ) – sin²α – sin²β + 2 = sin²(α + β) – sin²α – sin²β + 1 = (sin(α + β) – sinα) • (sin(α + β) + sinα) – sin²β + 2 = 2sinβ2 • cos(α + β2) • 2sin(α + β2) • cosβ2 – sin²β + 2 = 2sinβ2 • cosβ2 • 2cos(α + β2) • sin(α + β2) – sin²β + 2 = sinβ • sin(2α + β) – sin²β + 2 = 2 + sinβ + 2 = 2 + sinβ • (sin(2α + β) – sinβ = 2 + sinβ • 2sinα • cos(α + β) = 2 + 2sinβsinα • cos(π2 – γ) = 2 + 2sinβ • sinα • sinγ = П. ч. Тотожність доведена.